数学教学中学生逆向思维能力的培养
若水分享
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课堂教学结果表明：许多学生之所以处于低层次的学习水平，有一个重要因素，即逆向思维能力薄弱，定性于顺向学习，缺乏创造能力、观察能力、分析能力和开拓精神。因此，加强逆向思维的训练，可改变其思维结构，培养思维灵活性、深刻性和双向能力，提高分析问题和解决问题的能力。迅速而自然地从正面思维转到逆向思维的能力，正是数学能力不断增强的一种标志。因此，我们在课堂教学必须加强对学生逆向思维能力的培养。下面就教学过程中的一些知识点对学生数学逆向思维能力的培养、训练略举几例。
一、 幂的运算法则的逆用
这两例就逆用积的乘方运算法则，逆向思维可充分发挥学生的思考能力，有利于思维广阔性的培养，也可大大刺激学生学习数学的主观能动性与探索数学的兴趣性。
二、用“逆向变式”训练，强化学生的逆向思维。
例如：已知，直线AB经过⊙0上的点C，且OA=OB，CA=CB，求证：直线AB是⊙O的切线。
可改变为：已知：直线AB切⊙O于C，且OA=OB，求证：AC=BC。
已知：直线AB切⊙O于C，且AC=BC，求证：AC=BC。
再如：不解方程，请判断方程2x2-6x+3=0的根的情况。
可变式为：已知关于x的方程2x2-6x+k=0，当K取何值时？方程有两个不相等的实数根。进行这些有针对性的“逆向变式”训练，对逆向思维的形成起着很大作用。
三、强调某些基本教学方法，促进逆向思维。
数学的基本方法是教学的重点内容。其中的几个重要方法：如逆推分析法，反证法等都可看做是培养学生逆向思维的主要途径。比如在证明一道几何命题时（当然代数中也常用），老师常要求学生从所证的结论着手，结合图形，已知条件，经层层推导，问题最终迎刃而解。养成“要证什么，则需先证什么，能证出什么”的思维方式，反证法也是几何中尤其是立体几何中常用的方法。有的问题直接证明有困难，可反过来思考，假设所证的结论不成立，经层层推理，设法证明这种假设是错误的，从而达到证明的目的。在平常的教学中，教师本身应明确哪些定理的逆命题是真命题，才能适时给学生以训练。
在平面几何定义、定理的教学中，渗透一定量的逆向思考问题，强调其可逆性与相互性，对培养学生推理证明的能力大有裨益。于许多定理、法则等都是可逆的，因此许多题表面看起来不同，但其实质上是互相有紧密地联系。这就要求教师要教会学生在平时的学习中学会整理，包括公式的整理，习题的整理等。教师在分析习题时要抓住时机，有意识地培养学生把某些具有可逆关系的题对照起来解，有助于加强学生的逆向思维能力。
例如：1、“互为余角”的定义教学中，可采用以下形式：
∵∠A+∠B=90°,
∴∠A、∠B互为余角（正向思维）。
∵∠A、∠B互为余角。
∴∠A+∠B＝90°（逆向思维）
2、在△ABC中,D、E分别是CA、CB上的点，DE∥AB，且 ，AE、BD相交于点O，如果△CDE的面积为2，那么△ABO的面积为 。
解此题时，学生习惯从已知条件DE∥AB，且 出发，由S△CDE=2，得出S△ABC=18，从而得出S四边形ABED=16，
按此思路分析下去思维陷入了僵局不妨先让学生思考另一题：DE是△ABC的中位线，用S1、S2、S3、S4分别来表示△ADE、△DEF、△CEF、△BCF的面积，那么S1∶S2∶S3∶S4 = 。
这道题目的很明确，
要求的是各个小三角形的面积之比，因此学生容易联想到利用等高不等底等性质来求出各三角形面积之比为S1∶S2∶S3∶S4=3∶1∶2∶4。解完此题，让学生回过头去解刚才一题，就会想到：既然从四边形ABED去求小三角形ABO的面积不行，那为何不逆向思考利用后一题的方法，由小三角形的面积去表示四边形的面积呢？即设S△DOE=X，则S△BOE=3X=S△ADO，S△ABO=9X，∵S△DOE+S△BOE+S△ADO+S△ABO= S四边形ABED，∴X+3X+3X+9X=16，∴X=1，∴S△ABO=9。这样不但使问题得以解决，且做到题目间的融汇贯通，又不失时机地对学生进行了逆向思维能力的培养。
通过这些数学基本方法的训练，使学生认识到，当一个问题用一种方法解决不了时，常转换思维方向，可进行反面思考，从而提高逆向思维能力。总之，培养学生的逆向思维能力，不仅对提高解题能力有益，更重要的是改善学生学习数学的思维方式，有助于形成良好的思维习惯，激发学生的创新开拓精神，培养良好的思维品性，提高学习效果、学习兴趣，及提高思维能力和整体素质。当然，在初中数学教学中，要培养学生逆向思维能力，必须具备丰富而扎实的“双基”知识，量力而行，并且长期进行养成训练，切不可急于求成，特别是对中、下的学生而言，过于强调这方面的能力，会增加其课业负担与精神压力，可能使之产生厌学情绪。学生在学习数学，解决数学问题时要运用数学思维。如果按照思维过程的指向性来划分，一个人的思维可分为正向思维和逆向思维两种形式。它们处于矛盾的两个方面，但却相辅相成，具有同等重要的地位。数学学习中逆向思维能力的培养不是一朝一夕的事，需要我们教师在平时的教学中多注意积累，有意识地利用各种教学的手段和方法进行一些逆向思维的尝试，并让学生逐步适应和习惯。这将有效地帮助学生理解基础知识，简捷地解决问题。学生一旦掌握了逆向思维的方法，如蛟龙得水碎波斩浪，勇往直前，直达成功的彼岸。
很多教师在教学工作中，并未意识到培养学生逆向思维能力对数学教学的重要性，只是按照书本及习题的解法按部就班地来教，效果不是很好。其实我们教师认为把公式从左推出右是顺理成章的事，而对于学生来说是件困难的事。在教学中应注意培养学生的逆向思维能力，破除思维的定势，跳出一般的轨迹，从而提高学生的思维能力和创新能力。这样，不但能激发起学生对学习数学的兴趣，而且从根本上达到对基础知识的深层次理解、提高学生解题技巧、开阔解题思路的目的。
一、 幂的运算法则的逆用
这两例就逆用积的乘方运算法则，逆向思维可充分发挥学生的思考能力，有利于思维广阔性的培养，也可大大刺激学生学习数学的主观能动性与探索数学的兴趣性。
二、用“逆向变式”训练，强化学生的逆向思维。
例如：已知，直线AB经过⊙0上的点C，且OA=OB，CA=CB，求证：直线AB是⊙O的切线。
可改变为：已知：直线AB切⊙O于C，且OA=OB，求证：AC=BC。
已知：直线AB切⊙O于C，且AC=BC，求证：AC=BC。
再如：不解方程，请判断方程2x2-6x+3=0的根的情况。
可变式为：已知关于x的方程2x2-6x+k=0，当K取何值时？方程有两个不相等的实数根。进行这些有针对性的“逆向变式”训练，对逆向思维的形成起着很大作用。
三、强调某些基本教学方法，促进逆向思维。
数学的基本方法是教学的重点内容。其中的几个重要方法：如逆推分析法，反证法等都可看做是培养学生逆向思维的主要途径。比如在证明一道几何命题时（当然代数中也常用），老师常要求学生从所证的结论着手，结合图形，已知条件，经层层推导，问题最终迎刃而解。养成“要证什么，则需先证什么，能证出什么”的思维方式，反证法也是几何中尤其是立体几何中常用的方法。有的问题直接证明有困难，可反过来思考，假设所证的结论不成立，经层层推理，设法证明这种假设是错误的，从而达到证明的目的。在平常的教学中，教师本身应明确哪些定理的逆命题是真命题，才能适时给学生以训练。
在平面几何定义、定理的教学中，渗透一定量的逆向思考问题，强调其可逆性与相互性，对培养学生推理证明的能力大有裨益。于许多定理、法则等都是可逆的，因此许多题表面看起来不同，但其实质上是互相有紧密地联系。这就要求教师要教会学生在平时的学习中学会整理，包括公式的整理，习题的整理等。教师在分析习题时要抓住时机，有意识地培养学生把某些具有可逆关系的题对照起来解，有助于加强学生的逆向思维能力。
例如：1、“互为余角”的定义教学中，可采用以下形式：
∵∠A+∠B=90°,
∴∠A、∠B互为余角（正向思维）。
∵∠A、∠B互为余角。
∴∠A+∠B＝90°（逆向思维）
2、在△ABC中,D、E分别是CA、CB上的点，DE∥AB，且 ，AE、BD相交于点O，如果△CDE的面积为2，那么△ABO的面积为 。
解此题时，学生习惯从已知条件DE∥AB，且 出发，由S△CDE=2，得出S△ABC=18，从而得出S四边形ABED=16，
按此思路分析下去思维陷入了僵局不妨先让学生思考另一题：DE是△ABC的中位线，用S1、S2、S3、S4分别来表示△ADE、△DEF、△CEF、△BCF的面积，那么S1∶S2∶S3∶S4 = 。
这道题目的很明确，
要求的是各个小三角形的面积之比，因此学生容易联想到利用等高不等底等性质来求出各三角形面积之比为S1∶S2∶S3∶S4=3∶1∶2∶4。解完此题，让学生回过头去解刚才一题，就会想到：既然从四边形ABED去求小三角形ABO的面积不行，那为何不逆向思考利用后一题的方法，由小三角形的面积去表示四边形的面积呢？即设S△DOE=X，则S△BOE=3X=S△ADO，S△ABO=9X，∵S△DOE+S△BOE+S△ADO+S△ABO= S四边形ABED，∴X+3X+3X+9X=16，∴X=1，∴S△ABO=9。这样不但使问题得以解决，且做到题目间的融汇贯通，又不失时机地对学生进行了逆向思维能力的培养。
通过这些数学基本方法的训练，使学生认识到，当一个问题用一种方法解决不了时，常转换思维方向，可进行反面思考，从而提高逆向思维能力。总之，培养学生的逆向思维能力，不仅对提高解题能力有益，更重要的是改善学生学习数学的思维方式，有助于形成良好的思维习惯，激发学生的创新开拓精神，培养良好的思维品性，提高学习效果、学习兴趣，及提高思维能力和整体素质。当然，在初中数学教学中，要培养学生逆向思维能力，必须具备丰富而扎实的“双基”知识，量力而行，并且长期进行养成训练，切不可急于求成，特别是对中、下的学生而言，过于强调这方面的能力，会增加其课业负担与精神压力，可能使之产生厌学情绪。学生在学习数学，解决数学问题时要运用数学思维。如果按照思维过程的指向性来划分，一个人的思维可分为正向思维和逆向思维两种形式。它们处于矛盾的两个方面，但却相辅相成，具有同等重要的地位。数学学习中逆向思维能力的培养不是一朝一夕的事，需要我们教师在平时的教学中多注意积累，有意识地利用各种教学的手段和方法进行一些逆向思维的尝试，并让学生逐步适应和习惯。这将有效地帮助学生理解基础知识，简捷地解决问题。学生一旦掌握了逆向思维的方法，如蛟龙得水碎波斩浪，勇往直前，直达成功的彼岸。
很多教师在教学工作中，并未意识到培养学生逆向思维能力对数学教学的重要性，只是按照书本及习题的解法按部就班地来教，效果不是很好。其实我们教师认为把公式从左推出右是顺理成章的事，而对于学生来说是件困难的事。在教学中应注意培养学生的逆向思维能力，破除思维的定势，跳出一般的轨迹，从而提高学生的思维能力和创新能力。这样，不但能激发起学生对学习数学的兴趣，而且从根本上达到对基础知识的深层次理解、提高学生解题技巧、开阔解题思路的目的。
