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一道不等式证明问题的感想

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        不等式的证明对高中学生来讲是难点,因为不等量关系比等量关系难以理解更不好利用,再加上不等量变形的技巧妙趣无穷,下面这道不等式的证明将给你一种全新的感觉。
        例题:设a∈R,函数f(x)=ax2+x―a(―1≤x≤1),若|a|≤1,证明:|f(x)|≤5/4。
        一、 构造意识为主线,合理放缩是关键。分析:最大值是5/4,构造二次函数达到目标是比较理想的结果,只是条件;|x|≤1,∣a∣≤1不好利用,只有巧妙的放缩才能完成二次函数的构造。
        证明一:|x|≤1,|a|≤1.|f(x)|=|a(x2―1)+x|≤|a(x2―1)|+|x|=|a||x2―1|+|x|≤|x2―1|+|x|=|1― x2|+|x|=1―(|x|)2+|x|=―(|x|―1/2)2+5/4≤5/4
        二、 标准模型为目标,合理换元是高招。分析:要证|f(x)|≤5/4 ,只需证 ―5/4≤f(x)≤5/4。这是常规的思路,寻此思路再附以恰当的换元不难找到证明方法。 
        证明二:∵|a|≤1,|x|≤1, 可设 x= sinα, a=cosβ ,α,β∈R
        则f(x)= cosβsin2α+ sinα―cosβ=cosβ(sin2α―1)+ sinα 
        ∵―1≤ cosβ≤1,      ―1≤sin2α―1≤0    
        ∴  sin2α+sinα―1≤f(x)≤―sin2α+sinα+1,                       
        即( sinα+1/2)2-5/4≤f(x)≤―(sinα―1/2)2+5/4  ∴―5/4≤f(x)≤5/4  
        ∴|f(x)|≤5/4。 
        三、 一次函数雾里现,比较大小看增减。分析:f(x)的解析式中把a当成自变量就是一次函数,并且斜率为负数或0,由函数的单调性f(x)的取值范围(不等关系)容易找到。 
        证明三:f(x)= a(x2―1)+x看作是a的一次函数g(a),
        由|x|≤1得(斜率)x2―1≤0
        (1) 当x2―1<0 时,关于a的一次函数g(a) =f(x)是减函数,
        ∴g(1)≤f(x)≤g(―1) 
        ∴  x2―1+x≤f(x)≤―(x2―1)+x ,  
        ∴ (x+1/2)2―5/4≤f(x)≤―(x―1/2)2+5/4
        ∴―5/4≤f(x)≤5/4   ∴|f(x)|≤5/4。  
        (2)当x2―1=0时, g(a) =f(x)= x
        ∴∣f(x)∣=|x|≤1,显然|f(x)|≤5/4。综上可知|f(x)|≤5/4。 

       四、变量转换出新意,纲举目张非奇迹。
        分析:把变量a当成主线,变量a的范围可以牵出f(x)的范围,它体现出变量转换的神奇,当然这并不影响变量之间的内在联系,却为不等式的构造开辟了新的途径。
        证明四:(1)当x2―1<0 时,f(x)=ax2+x―a变形为:a= (f(x)―x)/ (x2―1), 
        ∵|a|≤1,∴|(f(x)―x)/ (x2―1)|≤1  ∴  ―1 ≤(f(x)―x)/ (x2―1)≤1 ,
        去分母得:x2―1+x≤f(x)≤―(x2―1)+x 
        ∴ (x+1/2)2―5/4≤f(x)≤―(x―1/2)2+5/4
        ∴―5/4≤f(x)≤5/4
        (2)当x2―1=0时,f(x)=x∴|f(x)|=|x|≤1,显然|f(x)|≤5/4。
        综上可知|f(x)|≤5/4。
        五、 常规思路也见效,分类讨论须知道。
        分析:这本来就是二次函数f(x)在闭区间(x∈[―1,1])内极值的问题,只要就对称轴 (x=―1/2a)的不同位置分别讨论就可得到结论,当a=0时f(x)为一次函数也不要忘记。
        证明五:函数f(x)=ax2+x―a(―1≤x≤1),
        (1) 当a=0时, f(x)=x∴|f(x)|=|x|≤1,结论显然成立。
        (2)当a≠0时,二次函数f(x)=ax2+x―a(―1≤x≤1)的对称轴是x=―1/2a,由于|a|≤1 ,x=―1/2a∈(―∞,―1/2]∪[1/2,∞)①当|―1/2a|≥1时,无论二次函数f(x)=ax2+x―a(―1≤x≤1)图象开口如何,x∈[―1,1]都是单调区间,必然有|f(x)|≤|f(1)|或|f(x)|≤|f(―1)|,而|f(±1)|=1,∴|f(x)|≤5/4显然成立。②当|―1/2a|﹤1时,二次函数f(x)=ax2+x―a=a(x+1/2a)2-(4a2+1)/4a(―1≤x≤1)(端点处已无须考虑),在顶点处|f(x)|=|(4a2+1)/4a|=|a+1/4a|≤5/4,a=±1时“=”成立。综上可知|f(x)|≤5/4。
        不等式的证明本来就没有一定的模式,是发挥学生想象力的领域,上面五种方法充分做到了这些。

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