2021年高中数学知识点梳理
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高中数学知识点大全
复数是高中代数的重要内容，在高考试题中约占8%-10%，一般的出一道基础题和一道中档题，经常与三角、解析几何、方程、不等式等知识综合.本章主要内容是复数的概念，复数的代数、几何、三角表示方法以及复数的运算.方程、方程组，数形结合，分域讨论，等价转化的数学思想与方法在本章中有突出的体现.而复数是代数，三角，解析几何知识，相互转化的枢纽，这对拓宽学生思路，提高学生解综合习题能力是有益的.数、式的运算和解方程，方程组，不等式是学好本章必须具有的基本技能.简化运算的意识也应进一步加强.
在本章学习结束时，应该明确对二次三项式的因式分解和解一元二次方程与二项方程可以画上圆满的句号了，对向量的运算、曲线的复数形式的方程、复数集中的数列等边缘性的知识还有待于进一步的研究.
1.知识网络图
复数知识点网络图
2.复数中的难点
(1)复数的向量表示法的运算.对于复数的向量表示有些学生掌握得不好，对向量的运算的几何意义的灵活掌握有一定的困难.对此应认真体会复数向量运算的几何意义，对其灵活地加以证明.
(2)复数三角形式的乘方和开方.有部分学生对运算法则知道，但对其灵活地运用有一定的困难，特别是开方运算，应对此认真地加以训练.
(3)复数的辐角主值的求法.
(4)利用复数的几何意义灵活地解决问题.复数可以用向量表示，同时复数的模和辐角都具有几何意义，对他们的理解和应用有一定难度，应认真加以体会.
3.复数中的重点
(1)理解好复数的概念，弄清实数、虚数、纯虚数的不同点.
(2)熟练掌握复数三种表示法，以及它们间的互化，并能准确地求出复数的模和辐角.复数有代数，向量和三角三种表示法.特别是代数形式和三角形式的互化，以及求复数的模和辐角在解决具体问题时经常用到，是一个重点内容.
(3)复数的三种表示法的各种运算，在运算中重视共轭复数以及模的有关性质.复数的运算是复数中的主要内容，掌握复数各种形式的运算，特别是复数运算的几何意义更是重点内容.
(4)复数集中一元二次方程和二项方程的解法.
高中数学必修知识点总结
集合
()元素与集合的关系：属于()和不属于()1
2)集合中元素的特性：确定性、互异性、无序性集合与元素((3)集合的分类：按集合中元素的个数多少分为：有限集、无限集、空集
4)集合的表示方法：列举法、描述法(自然语言描述、特征性质描述)、图示法、区间法(
子集：若xA xB，则AB，即A是B的子集。
1、若集合A中有n个元素，则集合A的子集有2n个，真子集有(2n-1)个。
2、任何一个集合是它本身的子集，即 AA注
关系3、对于集合A,B,C,如果AB，且BC,那么AC.4、空集是任何集合的(真)子集。
真子集：若AB且AB(即至少存在x0B但x0A)，则A是B的真子集。集合集合相等：AB且AB AB
集合与集合定义：ABx/xA且xB交集性质：AAA，A，ABBA，ABA,ABB，ABABA定义：ABx/xA或xB并集性质：AAA，AA，ABBA，ABA，ABB，ABABB运算
Card(AB)Card(A)Card(B)-Card(AB)定义：CUAx/xU且xA补集性质：(CUA)A，(CUA)AU，CU(CUA)A，CU(AB)(CUA)(CUB)， C(AB)(CA)(CB)UUU
函数
映射定义：设A，B是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应关系，使对于集合A中的任意一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应，那么就称对应f：B为从集合A到集合B的一个映射
传统定义：如果在某变化中有两个变量x,y,并且对于x在某个范围内的每一个确定的值，
定义 按照某个对应关系f,y都有唯一确定的值和它对应。那么y就是x的函数。记作yf(x).
近代定义：函数是从一个数集到另一个数集的映射。定义域函数及其表示函数的三要素值域对应法则
解析法函数的表示方法列表法
图象法
传统定义：在区间a,b上，若ax1x2b,如f(x1)f(x2)，则f(x)在a,b上递增,a,b是
递增区间;如f(x1)f(x2)，则f(x)在a,b上递减,a,b是的递减区间。单调性导数定义：在区间a,b上，若f(x)0，则f(x)在a,b上递增,a,b是递增区间;如f(x)0
a,b是的递减区间。 则f(x)在a,b上递减,
最大值：设函数yf(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：(1)对于任意的xI，都有f(x)M;函数 (2)存在x0I，使得f(x0)M。则称M是函数yf(x)的最大值函数的基本性质最值最小值：设函数yf(x)的定义域为I，如果存在实数N满足：(1)对于任意的xI，都有f(x)N; (2)存在x0I，使得f(x0)N。则称N是函数yf(x)的最小值
(1)f(x)f(x),x定义域D，则f(x)叫做奇函数，其图象关于原点对称。
奇偶性(2)f(x)f(x),x定义域D，则f(x)叫做偶函数，其图象关于y轴对称。奇偶函数的定义域关于原点对称
周期性：在函数f(x)的定义域上恒有f(xT)f(x)(T0的常数)则f(x)叫做周期函数，T为周期;
T的最小正值叫做f(x)的最小正周期，简称周期
(1)描点连线法：列表、描点、连线向左平移个单位：y1y,x1axyf(xa)
向右平移a个单位：yy,xaxyf(xa)
平移变换向上平移b个单位：x1x,y1byybf(x)
11向下平移b个单位：__,y11byybf(x)
横坐标变换：把各点的横坐标x1缩短(当w1时)或伸长(当0w1时)
到原来的1/w倍(纵坐标不变)，即x1wxyf(wx)
伸缩变换纵坐标变换：把各点的纵坐标y伸长(A1)或缩短(0A1)到原来的A倍1函数图象的画法(横坐
标不变)， 即y1y/Ayf(x)(__12x0x2x0x2)变换法12y0yf(2x0x)关于点(x0,y0)对称：yy12y0y12y0y
__12x0x12x0x关于直线__0对称：yf(2x0x)yy1y1y对称变换__1__关于直线yy0对称：12y0yf(x)yy2y10y12y0y__1关于直线yx对称：yf1(x)yy1
附：
一、函数的定义域的常用求法：
1、分式的分母不等于零;2、偶次方根的被开方数大于等于零;3、对数的真数大于零;4、指数
函数和对数函数的底数大于零且不等于1;5、三角函数正切函数ytanx中xk
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(kZ);余
切函数ycotx中;6、如果函数是由实际意义确定的解析式，应依据自变量的实际意义确定其取值范围。
二、函数的解析式的常用求法：
1、定义法;2、换元法;3、待定系数法;4、函数方程法;5、参数法;6、配方法 三、函数的值域的常用求法：
1、换元法;2、配方法;3、判别式法;4、几何法;5、不等式法;6、单调性法;7、直接法 四、函数的'最值的常用求法：
1、配方法;2、换元法;3、不等式法;4、几何法;5、单调性法 五、函数单调性的常用结论：
1、若f(x),g(x)均为某区间上的增(减)函数，则f(x)g(x)在这个区间上也为增(减)函数 2、若f(x)为增(减)函数，则f(x)为减(增)函数
3、若f(x)与g(x)的单调性相同，则yf[g(x)]是增函数;若f(x)与g(x)的单调性不同，则
yf[g(x)]是减函数。
4、奇函数在对称区间上的单调性相同，偶函数在对称区间上的单调性相反。
5、常用函数的单调性解答：比较大小、求值域、求最值、解不等式、证不等式、作函数图象。 六、函数奇偶性的常用结论：
1、如果一个奇函数在x0处有定义，则f(0)0，如果一个函数yf(x)既是奇函数又是偶函数，则f(x)0(反之不成立)
2、两个奇(偶)函数之和(差)为奇(偶)函数;之积(商)为偶函数。 3、一个奇函数与一个偶函数的积(商)为奇函数。
4、两个函数yf(u)和ug(x)复合而成的函数，只要其中有一个是偶函数，那么该复合函数就是偶函数;当两个函数都是奇函数时，该复合函数是奇函数。 5、若函数
f(x)的定义域关于原点对称，则f(x)可以表示为
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f(x)[f(x)f(x)][f(x)f(x)]，该式的特点是：右端为一个奇函数和一个偶函数
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的和。
零点：对于函数yf(x),我们把使f(x)0的实数x叫做函数yf(x)的零点。定理：如果函数yf(x)在区间[a,b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)f(b)0,
零点与根的关系那么，函数yf(x)在区间[a,b]内有零点。即存在c(a,b),使得f(c)0,这个c也是方
程f(x)0的根。(反之不成立)关系：方程f(x)0有实数根函数yf(x)有零点函数yf(x)的图象与x轴有交点(1)确定区间[a,b],验证f(a)f(b)0,给定精确度;函数与方程(2)求区间(a,b)的中点c;函数的应用(3)计算f(c);
二分法求方程的近似解 ①若f(c)0,则c就是函数的零点;
②若f(a)f(c)0,则令b(此时零点cx(a,b));0③若f(c)f(b)0,则令a(此时零点cx(c,b));0
(4)判断是否达到精确度：即若a-b,则得到零点的近似值a(或b);否则重复24。几类不同的增长函数模型函数模型及其应用用已知函数模型解决问题
建立实际问题的函数模型
n为根指数，a为被开方数a分数指数幂
arasars(a0,r,sQ)指数的运算
rs指数函数rs性质(a)a(a0,r,sQ)
(ab)rarbs(a0,b0,rQ)
定义：一般地把函数yax(a0且a1)叫做指数函数。指数函数性质：见表1
对数：xlogaN,a为底数，N为真数
loga(MN)logaMlogaN;基本初等函数
logaMlogaMlogaN;.N对数的运算性质
nnlogaM;(a0,a1,M0,N0)logaM对数函数
logcb
logab(a,c0且a,c1,b0)换底公式：logca
对数函数定义：一般地把函数ylogax(a0且a1)叫做对数函数性质：见表1
定义：一般地，函数yx叫做幂函数，x是自变量，是常数。幂函数
性质：见表2
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集合
一、集合概念
(1)集合中元素的特征:确定性，互异性，无序性。
(2)集合与元素的关系用符号=表示。
(3)常用数集的符号表示:自然数集;正整数集;整数集;有理数集、实数集。
(4)集合的表示法:列举法，描述法，韦恩图。
(5)空集是指不含任何元素的集合。
空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集。
函数
一、映射与函数:
(1)映射的概念:(2)一一映射:(3)函数的概念:
二、函数的三要素:
相同函数的判断方法:①对应法则;②定义域(两点必须同时具备)
(1)函数解析式的求法:
①定义法(拼凑):②换元法:③待定系数法:④赋值法:
(2)函数定义域的求法:
①含参问题的定义域要分类讨论;
②对于实际问题，在求出函数解析式后;必须求出其定义域，此时的定义域要根据实际意义来确定。
(3)函数值域的求法:
①配方法:转化为二次函数，利用二次函数的特征来求值;常转化为型如:的形式;
②逆求法(反求法):通过反解，用来表示，再由的取值范围，通过解不等式，得出的取值范围;常用来解，型如:;
④换元法:通过变量代换转化为能求值域的函数，化归思想;
⑤三角有界法:转化为只含正弦、余弦的函数，运用三角函数有界性来求值域;
⑥基本不等式法:转化成型如:，利用平均值不等式公式来求值域;
⑦单调性法:函数为单调函数，可根据函数的单调性求值域。
⑧数形结合:根据函数的几何图形，利用数型结合的方法来求值域。
三、函数的性质:
函数的单调性、奇偶性、周期性
单调性:定义:注意定义是相对与某个具体的区间而言。
判定方法有:定义法(作差比较和作商比较)
导数法(适用于多项式函数)
复合函数法和图像法。
应用:比较大小，证明不等式，解不等式。
奇偶性:定义:注意区间是否关于原点对称，比较f(x)与f(-x)的关系。f(x)-f(-x)=0f(x)=f(-x)f(x)为偶函数;
f(x)+f(-x)=0f(x)=-f(-x)f(x)为奇函数。
判别方法:定义法，图像法，复合函数法
应用:把函数值进行转化求解。
周期性:定义:若函数f(x)对定义域内的任意x满足:f(x+T)=f(x),则T为函数f(x)的周期。
其他:若函数f(x)对定义域内的任意x满足:f(x+a)=f(x-a),则2a为函数f(x)的周期.
应用:求函数值和某个区间上的函数解析式。
四、图形变换:函数图像变换:(重点)要求掌握常见基本函数的图像，掌握函数图像变换的一般规律。
常见图像变化规律:(注意平移变化能够用向量的语言解释，和按向量平移联系起来思考)
平移变换y=f(x)→y=f(x+a),y=f(x)+b
注意:(ⅰ)有系数，要先提取系数。如:把函数y=f(2x)经过平移得到函数y=f(2x+4)的图象。
(ⅱ)会结合向量的平移，理解按照向量(m，n)平移的意义。
对称变换y=f(x)→y=f(-x),关于y轴对称
y=f(x)→y=-f(x),关于x轴对称
y=f(x)→y=f|x|,把x轴上方的图象保留，x轴下方的图象关于x轴对称
y=f(x)→y=|f(x)|把y轴右边的图象保留，然后将y轴右边部分关于y轴对称。(注意:它是一个偶函数)
伸缩变换:y=f(x)→y=f(ωx),
y=f(x)→y=Af(ωx+φ)具体参照三角函数的图象变换。
一个重要结论:若f(a-x)=f(a+x)，则函数y=f(x)的图像关于直线x=a对称;
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五、反函数:
(1)定义:
(2)函数存在反函数的条件:
(3)互为反函数的定义域与值域的关系:
(4)求反函数的步骤:①将看成关于的方程，解出，若有两解，要注意解的选择;②将互换，得;③写出反函数的定义域(即的值域)。
(5)互为反函数的图象间的关系:
(6)原函数与反函数具有相同的单调性;
(7)原函数为奇函数，则其反函数仍为奇函数;原函数为偶函数，它一定不存在反函数。
七、常用的初等函数:
(1)一元一次函数:
(2)一元二次函数:
一般式
两点式
顶点式
二次函数求最值问题:首先要采用配方法，化为一般式，
有三个类型题型:
(1)顶点固定，区间也固定。如:
(2)顶点含参数(即顶点变动)，区间固定，这时要讨论顶点横坐标何时在区间之内，何时在区间之外。
(3)顶点固定，区间变动，这时要讨论区间中的参数.
等价命题在区间上有两根在区间上有两根在区间或上有一根
注意:若在闭区间讨论方程有实数解的情况，可先利用在开区间上实根分布的情况，得出结果，在令和检查端点的情况。
(3)反比例函数:
(4)指数函数:
指数函数:y=(a>o,a≠1)，图象恒过点(0，1)，单调性与a的值有关，在解题中，往往要对a分a>1和0
(5)对数函数:
对数函数:y=(a>o,a≠1)图象恒过点(1，0)，单调性与a的值有关，在解题中，往往要对a分a>1和0
注意:
(1)比较两个指数或对数的大小的基本方法是构造相应的指数或对数函数，若底数不相同时转化为同底数的指数或对数，还要注意与1比较或与0比较。
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