高中数学导数知识点总结
导数作为研究函数的重要工具，也是进一步学习高二数学 的基础，因此同学们需要掌握导数的重要知识点。下面是小编整理的高中数学导数知识点总结，欢迎大家阅读分享借鉴。
一、早期导数概念----特殊的形式大约在1629年法国数学家费马研究了作曲线的切线和求函数极值的方法1637年左右他写一篇手稿《求最大值与最小值的方法》。在作切线时他构造了差分f(A+E)-f(A),发现的因子E就是我们所说的导数f(A)。
二、17世纪----广泛使用的“流数术”17世纪生产力的发展推动了自然科学和技术的发展在前人创造性研究的基础上大数学家牛顿、莱布尼茨等从不同的角度开始系统地研究微积分。牛顿的微积分理论被称为“流数术”他称变量为流量称变量的变化率为流数相当于我们所说的导数。牛顿的有关“流数术”的主要著作是《求曲边形面积》、《运用无穷多项方程的计算法》和《流数术和无穷级数》流数理论的实质概括为他的重点在于一个变量的函数而不在于多变量的方程在于自变量的变化与函数的变化的比的构成最在于决定这个比当变化趋于零时的极限。
三、19世纪导数----逐渐成熟的理论1750年达朗贝尔在为法国科学家院出版的《百科全书》第五版写的“微分”条目中提出了关于导数的一种观点可以用现代符号简单表示{dy/dx)=lim(oy/ox)。1823年柯西在他的《无穷小分析概论》中定义导数如果函数y=f(x)在变量x的两个给定的界限之间保持连续并且我们为这样的变量指定一个包含在这两个不同界限之间的值那么是使变量得到一个无穷小增量。19世纪60年代以后魏尔斯特拉斯创造了ε-δ语言对微积分中出现的各种类型的极限重加表达导数的定义也就获得了今天常见的形式。
四、实无限将异军突起微积分第二轮初等化或成为可能 微积分学理论基础大体可以分为两个部分。一个是实无限理论即无限是一个具体的东西一种真实的存在另一种是潜无限指一种意识形态上的过程比如无限接近。就历史来看两种理论都有一定的道理。其中实无限用了150年后来极限论就是现在所使用的。光是电磁波还是粒子是一个物理学长期争论的问题后来由波粒二象性来统一。微积分无论是用现代极限论还是150年前的理论都不是最好的手段。
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1. 求函数的单调性：
利用导数求函数单调性的基本方法：设函数yf(x)在区间(a,b)内可导， (1)如果恒f(x)0，则函数yf(x)在区间(a,b)上为增函数; (2)如果恒f(x)0，则函数yf(x)在区间(a,b)上为减函数; (3)如果恒f(x)0，则函数yf(x)在区间(a,b)上为常数函数。
利用导数求函数单调性的基本步骤：①求函数yf(x)的定义域;②求导数f(x); ③解不等式f(x)0，解集在定义域内的不间断区间为增区间;④解不等式f(x)0，解集在定义域内的不间断区间为减区间。
反过来, 也可以利用导数由函数的单调性解决相关问题(如确定参数的取值范围)： 设函数yf(x)在区间(a,b)内可导，
(1)如果函数yf(x)在区间(a,b)上为增函数,则f(x)0(其中使f(x)0的x值不构成区间);
(2) 如果函数yf(x)在区间(a,b)上为减函数,则f(x)0(其中使f(x)0的x值不构成区间);
(3) 如果函数yf(x)在区间(a,b)上为常数函数,则f(x)0恒成立。 2. 求函数的极值：
设函数yf(x)在x0及其附近有定义，如果对x0附近的所有的点都有f(x)f(x0)(或f(x)f(x0))，则称f(x0)是函数f(x)的极小值(或极大值)。
可导函数的极值，可通过研究函数的单调性求得，基本步骤是：
(1)确定函数f(x)的定义域;(2)求导数f(x);(3)求方程f(x)0的全部实根，x1x2xn，顺次将定义域分成若干个小区间，并列表：x变化时，f(x)和f(x)值的
变化情况：
(4)检查f(x)的符号并由表格判断极值。 3. 求函数的最大值与最小值：
如果函数f(x)在定义域I内存在x0，使得对任意的xI，总有f(x)f(x0)，则称f(x0)为函数在定义域上的最大值。函数在定义域内的极值不一定唯一，但在定义域内的最值是唯一的。
求函数f(x)在区间[a,b]上的最大值和最小值的步骤： (1)求f(x)在区间(a,b)上的极值;
(2)将第一步中求得的极值与f(a),f(b)比较，得到f(x)在区间[a,b]上的最大值与最小值。
4. 解决不等式的有关问题：
(1)不等式恒成立问题(绝对不等式问题)可考虑值域。
f(x)(xA)的值域是[a,b]时，
不等式f(x)0恒成立的充要条件是f(x)max0，即b0;
不等式f(x)0恒成立的充要条件是f(x)min0，即a0。
f(x)(xA)的值域是(a,b)时，
不等式f(x)0恒成立的充要条件是b0; 不等式f(x)0恒成立的充要条件是a0。
(2)证明不等式f(x)0可转化为证明f(x)max0，或利用函数f(x)的单调性，转化为证明f(x)f(x0)0。
5. 导数在实际生活中的应用：
实际生活求解最大(小)值问题，通常都可转化为函数的最值. 在利用导数来求函数最值时，一定要注意，极值点唯一的单峰函数，极值点就是最值点，在解题时要加以说明。
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一、求导数的方法
(1)基本求导公式
(2)导数的四则运算
(3)复合函数的导数
设在点x处可导，y=在点处可导，则复合函数在点x处可导，且即
二、关于极限
.1.数列的极限：
粗略地说，就是当数列的项n无限增大时，数列的项无限趋向于A，这就是数列极限的描述性定义。记作：=A。如：
2函数的极限：
当自变量x无限趋近于常数时，如果函数无限趋近于一个常数，就说当x趋近于时，函数的极限是,记作
三、导数的概念
1、在处的导数.
2、在的导数.
3.函数在点处的导数的几何意义：
函数在点处的导数是曲线在处的切线的斜率，
即k=，相应的切线方程是
注：函数的导函数在时的函数值，就是在处的导数。
例、若=2，则=()A-1B-2C1D
四、导数的综合运用
(一)曲线的切线
函数y=f(x)在点处的导数，就是曲线y=(x)在点处的切线的斜率.由此，可以利用导数求曲线的切线方程.具体求法分两步：
(1)求出函数y=f(x)在点处的导数，即曲线y=f(x)在点处的切线的斜率k=;
(2)在已知切点坐标和切线斜率的条件下，求得切线方程为_。
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