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2020最新高一数学知识点归纳总结5篇

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    相信有很多同学到了高中会认为数学是理科,所以没必要死记硬背。其实这是错误的想法,高一数学知识点众多,光靠一个脑袋是记不全的,好记性不如烂笔头,要想学好数学,同学们还是要多做知识点的总结。下面就是小编给大家带来的高一数学知识点,希望能帮助到大家!

       高一数学知识点归纳1

  1.函数的概念:设A、B是非空的数集,如果按照某个确定的对应关系f,使对于集合A中的任意一个数x,在集合B中都有确定的数f(x)和它对应,那么就称f:A→B为从集合A到集合B的一个函数.记作:y=f(x),x∈A.其中,x叫做自变量,x的取值范围A叫做函数的定义域;与x的值相对应的y值叫做函数值,函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域.

  注意:2如果只给出解析式y=f(x),而没有指明它的定义域,则函数的定义域即是指能使这个式子有意义的实数的集合;3函数的定义域、值域要写成集合或区间的形式.

  定义域补充

  能使函数式有意义的实数x的集合称为函数的定义域,求函数的定义域时列不等式组的主要依据是:(1)分式的分母不等于零;(2)偶次方根的被开方数不小于零;(3)对数式的真数必须大于零;(4)指数、对数式的底必须大于零且不等于1.(5)如果函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的.那么,它的定义域是使各部分都有意义的x的值组成的集合.(6)指数为零底不可以等于零(6)实际问题中的函数的定义域还要保证实际问题有意义.

  构成函数的三要素:定义域、对应关系和值域

  再注意:(1)构成函数三个要素是定义域、对应关系和值域.由于值域是由定义域和对应关系决定的,所以,如果两个函数的定义域和对应关系完全一致,即称这两个函数相等(或为同一函数)(2)两个函数相等当且仅当它们的定义域和对应关系完全一致,而与表示自变量和函数值的字母无关。相同函数的判断方法:①表达式相同;②定义域一致(两点必须同时具备)

  值域补充

  (1)、函数的值域取决于定义域和对应法则,不论采取什么方法求函数的值域都应先考虑其定义域.(2).应熟悉掌握一次函数、二次函数、指数、对数函数及各三角函数的值域,它是求解复杂函数值域的基础。

  3.函数图象知识归纳

  (1)定义:在平面直角坐标系中,以函数y=f(x),(x∈A)中的x为横坐标,函数值y为纵坐标的点P(x,y)的集合C,叫做函数y=f(x),(x∈A)的图象.

  C上每一点的坐标(x,y)均满足函数关系y=f(x),反过来,以满足y=f(x)的每一组有序实数对x、y为坐标的点(x,y),均在C上.即记为C={P(x,y)|y=f(x),x∈A}

  图象C一般的是一条光滑的连续曲线(或直线),也可能是由与任意平行与Y轴的直线最多只有一个交点的若干条曲线或离散点组成。

  (2)画法

  A、描点法:根据函数解析式和定义域,求出x,y的一些对应值并列表,以(x,y)为坐标在坐标系内描出相应的点P(x,y),最后用平滑的曲线将这些点连接起来.

  B、图象变换法(请参考必修4三角函数)

  常用变换方法有三种,即平移变换、伸缩变换和对称变换

  (3)作用:

  1、直观的看出函数的性质;2、利用数形结合的方法分析解题的思路。提高解题的速度。

  高一数学知识点归纳2

  1.对于集合,一定要抓住集合的代表元素,及元素的“确定性、互异性、无序性”。

  中元素各表示什么?

  注重借助于数轴和文氏图解集合问题。

  空集是一切集合的子集,是一切非空集合的真子集。

  3.注意下列性质:

  (3)德摩根定律:

  4.你会用补集思想解决问题吗?(排除法、间接法)

  的取值范围。

  6.命题的四种形式及其相互关系是什么?

  (互为逆否关系的命题是等价命题。)

  原命题与逆否命题同真、同假;逆命题与否命题同真同假。

  7.对映射的概念了解吗?映射f:A→B,是否注意到A中元素的任意性和B中与之对应元素的性,哪几种对应能构成映射?

  (一对一,多对一,允许B中有元素无原象。)

  8.函数的三要素是什么?如何比较两个函数是否相同?

  (定义域、对应法则、值域)

  9.求函数的定义域有哪些常见类型?

  10.如何求复合函数的定义域?

  义域是_____________。

  11.求一个函数的解析式或一个函数的反函数时,注明函数的定义域了吗?

  12.反函数存在的条件是什么?

  (一一对应函数)

  求反函数的步骤掌握了吗?

  (①反解x;②互换x、y;③注明定义域)

  13.反函数的性质有哪些?

  ①互为反函数的图象关于直线y=x对称;

  ②保存了原来函数的单调性、奇函数性;

  14.如何用定义证明函数的单调性?

  (取值、作差、判正负)

  如何判断复合函数的单调性?

  ∴……)

  15.如何利用导数判断函数的单调性?

  值是()

  A.0B.1C.2D.3

  ∴a的值为3)

  16.函数f(x)具有奇偶性的必要(非充分)条件是什么?

  (f(x)定义域关于原点对称)

  注意如下结论:

  (1)在公共定义域内:两个奇函数的乘积是偶函数;两个偶函数的乘积是偶函数;一个偶函数与奇函数的乘积是奇函数。

  17.你熟悉周期函数的定义吗?

  函数,T是一个周期。)

  如:

  18.你掌握常用的图象变换了吗?

  注意如下“翻折”变换:

  19.你熟练掌握常用函数的图象和性质了吗?

  的双曲线。

  应用:①“三个二次”(二次函数、二次方程、二次不等式)的关系——二次方程

  ②求闭区间[m,n]上的最值。

  ③求区间定(动),对称轴动(定)的最值问题。

  ④一元二次方程根的分布问题。

  由图象记性质!(注意底数的限定!)

  利用它的单调性求最值与利用均值不等式求最值的区别是什么?

  20.你在基本运算上常出现错误吗?

  21.如何解抽象函数问题?

  (赋值法、结构变换法)

  22.掌握求函数值域的常用方法了吗?

  (二次函数法(配方法),反函数法,换元法,均值定理法,判别式法,利用函数单调性法,导数法等。)

  如求下列函数的最值:

  23.你记得弧度的定义吗?能写出圆心角为α,半径为R的弧长公式和扇形面积公式吗?

  24.熟记三角函数的定义,单位圆中三角函数线的定义

  25.你能迅速画出正弦、余弦、正切函数的图象吗?并由图象写出单调区间、对称点、对称轴吗?

  (x,y)作图象。

  27.在三角函数中求一个角时要注意两个方面——先求出某一个三角函数值,再判定角的范围。

  28.在解含有正、余弦函数的问题时,你注意(到)运用函数的有界性了吗?

  29.熟练掌握三角函数图象变换了吗?

  (平移变换、伸缩变换)

  平移公式:

  图象?

  30.熟练掌握同角三角函数关系和诱导公式了吗?

  “奇”、“偶”指k取奇、偶数。

  A.正值或负值B.负值C.非负值D.正值

  31.熟练掌握两角和、差、倍、降幂公式及其逆向应用了吗?

  理解公式之间的联系:

  应用以上公式对三角函数式化简。(化简要求:项数最少、函数种类最少,分母中不含三角函数,能求值,尽可能求值。)

  具体方法:

  (2)名的变换:化弦或化切

  (3)次数的变换:升、降幂公式

  (4)形的变换:统一函数形式,注意运用代数运算。

  32.正、余弦定理的各种表达形式你还记得吗?如何实现边、角转化,而解斜三角形?

  (应用:已知两边一夹角求第三边;已知三边求角。)

  33.用反三角函数表示角时要注意角的范围。

  34.不等式的性质有哪些?

  答案:C

  35.利用均值不等式:

  值?(一正、二定、三相等)

  注意如下结论:

  36.不等式证明的基本方法都掌握了吗?

  (比较法、分析法、综合法、数学归纳法等)

  并注意简单放缩法的应用。

  (移项通分,分子分母因式分解,x的系数变为1,穿轴法解得结果。)

  38.用“穿轴法”解高次不等式——“奇穿,偶切”,从根的右上方开始

  39.解含有参数的不等式要注意对字母参数的讨论

  40.对含有两个绝对值的不等式如何去解?

  (找零点,分段讨论,去掉绝对值符号,最后取各段的并集。)

  证明:

  (按不等号方向放缩)

  42.不等式恒成立问题,常用的处理方式是什么?(可转化为最值问题,或“△”问题)

  43.等差数列的定义与性质

  0的二次函数)

  项,即:

  44.等比数列的定义与性质

  46.你熟悉求数列通项公式的常用方法吗?

  例如:(1)求差(商)法

  解:

  [练习]

  (2)叠乘法

  解:

  (3)等差型递推公式

  [练习]

  (4)等比型递推公式

  [练习]

  (5)倒数法

  47.你熟悉求数列前n项和的常用方法吗?

  例如:(1)裂项法:把数列各项拆成两项或多项之和,使之出现成对互为相反数的项。

  解:

  [练习]

  (2)错位相减法:

  (3)倒序相加法:把数列的各项顺序倒写,再与原来顺序的数列相加。

  [练习]

  48.你知道储蓄、贷款问题吗?

  △零存整取储蓄(单利)本利和计算模型:

  若每期存入本金p元,每期利率为r,n期后,本利和为:

  △若按复利,如贷款问题——按揭贷款的每期还款计算模型(按揭贷款——分期等额归还本息的借款种类)

  若贷款(向银行借款)p元,采用分期等额还款方式,从借款日算起,一期(如一年)后为第一次还款日,如此下去,第n次还清。如果每期利率为r(按复利),那么每期应还x元,满足

  p——贷款数,r——利率,n——还款期数

  49.解排列、组合问题的依据是:分类相加,分步相乘,有序排列,无序组合。

  (2)排列:从n个不同元素中,任取m(m≤n)个元素,按照一定的顺序排成一

  (3)组合:从n个不同元素中任取m(m≤n)个元素并组成一组,叫做从n个不

  50.解排列与组合问题的规律是:

  相邻问题_法;相间隔问题插空法;定位问题优先法;多元问题分类法;至多至少问题间接法;相同元素分组可采用隔板法,数量不大时可以逐一排出结果。

  如:学号为1,2,3,4的四名学生的考试成绩

  则这四位同学考试成绩的所有可能情况是()

  A.24B.15C.12D.10

  解析:可分成两类:

  (2)中间两个分数相等

  相同两数分别取90,91,92,对应的排列可以数出来,分别有3,4,3种,∴有10种。

  ∴共有5+10=15(种)情况

  51.二项式定理

  性质:

  (3)最值:n为偶数时,n+1为奇数,中间一项的二项式系数且为第

  表示)

  52.你对随机事件之间的关系熟悉吗?

  的和(并)。

  (5)互斥事件(互不相容事件):“A与B不能同时发生”叫做A、B互斥。

  (6)对立事件(互逆事件):

  (7)独立事件:A发生与否对B发生的概率没有影响,这样的两个事件叫做相互独立事件。

  53.对某一事件概率的求法:

  分清所求的是:(1)等可能事件的概率(常采用排列组合的方法,即

  (5)如果在一次试验中A发生的概率是p,那么在n次独立重复试验中A恰好发生

  如:设10件产品中有4件次品,6件正品,求下列事件的概率。

  (1)从中任取2件都是次品;

  (2)从中任取5件恰有2件次品;

  (3)从中有放回地任取3件至少有2件次品;

  解析:有放回地抽取3次(每次抽1件),∴n=103

  而至少有2件次品为“恰有2次品”和“三件都是次品”

  (4)从中依次取5件恰有2件次品。

  解析:∵一件一件抽取(有顺序)

  分清(1)、(2)是组合问题,(3)是可重复排列问题,(4)是无重复排列问题。

  54.抽样方法主要有:简单随机抽样(抽签法、随机数表法)常常用于总体个数较少时,它的特征是从总体中逐个抽取;系统抽样,常用于总体个数较多时,它的主要特征是均衡成若干部分,每部分只取一个;分层抽样,主要特征是分层按比例抽样,主要用于总体中有明显差异,它们的共同特征是每个个体被抽到的概率相等,体现了抽样的客观性和平等性。

  55.对总体分布的估计——用样本的频率作为总体的概率,用样本的期望(平均值)和方差去估计总体的期望和方差。

  要熟悉样本频率直方图的作法:

  (2)决定组距和组数;

  (3)决定分点;

  (4)列频率分布表;

  (5)画频率直方图。

  如:从10名_与5名男生中选6名学生参加比赛,如果按性别分层随机抽样,则组成此参赛队的概率为____________。

  56.你对向量的有关概念清楚吗?

  (1)向量——既有大小又有方向的量。

  在此规定下向量可以在平面(或空间)平行移动而不改变。

  (6)并线向量(平行向量)——方向相同或相反的向量。

  规定零向量与任意向量平行。

  (7)向量的加、减法如图:

  (8)平面向量基本定理(向量的分解定理)

  的一组基底。

  (9)向量的坐标表示

  表示。

  57.平面向量的数量积

  数量积的几何意义:

  (2)数量积的运算法则

  [练习]

  答案:

  答案:2

  答案:

  58.线段的定比分点

  ※.你能分清三角形的重心、垂心、外心、内心及其性质吗?

  59.立体几何中平行、垂直关系证明的思路清楚吗?

  平行垂直的证明主要利用线面关系的转化:

  线面平行的判定:

  线面平行的性质:

  三垂线定理(及逆定理):

  线面垂直:

  面面垂直:

  60.三类角的定义及求法

  (1)异面直线所成的角θ,0°<θ≤90°

  (2)直线与平面所成的角θ,0°≤θ≤90°

  (三垂线定理法:A∈α作或证AB⊥β于B,作BO⊥棱于O,连AO,则AO⊥棱l,∴∠AOB为所求。)

  三类角的求法:

  ①找出或作出有关的角。

  ②证明其符合定义,并指出所求作的角。

  ③计算大小(解直角三角形,或用余弦定理)。

  [练习]

  (1)如图,OA为α的斜线OB为其在α_影,OC为α内过O点任一直线。

  (2)如图,正四棱柱ABCD—A1B1C1D1中对角线BD1=8,BD1与侧面B1BCC1所成的为30°。

  ①求BD1和底面ABCD所成的角;

  ②求异面直线BD1和AD所成的角;

  ③求二面角C1—BD1—B1的大小。

  (3)如图ABCD为菱形,∠DAB=60°,PD⊥面ABCD,且PD=AD,求面PAB与面PCD所成的锐二面角的大小。

  (∵AB∥DC,P为面PAB与面PCD的公共点,作PF∥AB,则PF为面PCD与面PAB的交线……)

  61.空间有几种距离?如何求距离?

  点与点,点与线,点与面,线与线,线与面,面与面间距离。

  将空间距离转化为两点的距离,构造三角形,解三角形求线段的长(如:三垂线定理法,或者用等积转化法)。

  如:正方形ABCD—A1B1C1D1中,棱长为a,则:

  (1)点C到面AB1C1的距离为___________;

  (2)点B到面ACB1的距离为____________;

  (3)直线A1D1到面AB1C1的距离为____________;

  (4)面AB1C与面A1DC1的距离为____________;

  (5)点B到直线A1C1的距离为_____________。

  62.你是否准确理解正棱柱、正棱锥的定义并掌握它们的性质?

  正棱柱——底面为正多边形的直棱柱

  正棱锥——底面是正多边形,顶点在底面的射影是底面的中心。

  正棱锥的计算集中在四个直角三角形中:

  它们各包含哪些元素?

  63.球有哪些性质?

  (2)球面上两点的距离是经过这两点的大圆的劣弧长。为此,要找球心角!

  (3)如图,θ为纬度角,它是线面成角;α为经度角,它是面面成角。

  (5)球内接长方体的对角线是球的直径。正四面体的外接球半径R与内切球半径r之比为R:r=3:1。

  积为()

  答案:A

  64.熟记下列公式了吗?

  (2)直线方程:

  65.如何判断两直线平行、垂直?

  66.怎样判断直线l与圆C的位置关系?

  圆心到直线的距离与圆的半径比较。

  直线与圆相交时,注意利用圆的“垂径定理”。

  67.怎样判断直线与圆锥曲线的位置?

  68.分清圆锥曲线的定义

  70.在圆锥曲线与直线联立求解时,消元后得到的方程,要注意其二次项系数是否为零?△≥0的限制。(求交点,弦长,中点,斜率,对称存在性问题都在△≥0下进行。)

  71.会用定义求圆锥曲线的焦半径吗?

  如:

  通径是抛物线的所有焦点弦中最短者;以焦点弦为直径的圆与准线相切。

  72.有关中点弦问题可考虑用“代点法”。

  答案:

  73.如何求解“对称”问题?

  (1)证明曲线C:F(x,y)=0关于点M(a,b)成中心对称,设A(x,y)为曲线C上任意一点,设A'(x',y')为A关于点M的对称点。

  75.求轨迹方程的常用方法有哪些?注意讨论范围。

  (直接法、定义法、转移法、参数法)

  76.对线性规划问题:作出可行域,作出以目标函数为截距的直线,在可行域内平移直线,求出目标函数的最值。

  高一数学知识点归纳3

  内容子交并补集,还有幂指对函数。性质奇偶与增减,观察图象最明显。

  复合函数式出现,性质乘法法则辨,若要详细证明它,还须将那定义抓。

  指数与对数函数,初中学习方法,两者互为反函数。底数非1的正数,1两边增减变故。

  函数定义域好求。分母不能等于0,偶次方根须非负,零和负数无对数;

  正切函数角不直,余切函数角不平;其余函数实数集,多种情况求交集。

  两个互为反函数,单调性质都相同;图象互为轴对称,Y=X是对称轴;

  求解非常有规律,反解换元定义域;反函数的定义域,原来函数的值域。

  幂函数性质易记,指数化既约分数;函数性质看指数,奇母奇子奇函数,

  奇母偶子偶函数,偶母非奇偶函数;图象第一象限内,函数增减看正负。

  形如y=k/x(k为常数且k≠0)的函数,叫做反比例函数。

  自变量x的取值范围是不等于0的一切实数。

  反比例函数图像性质:

  反比例函数的图像为双曲线。

  由于反比例函数属于奇函数,有f(-x)=-f(x),图像关于原点对称。

  另外,从反比例函数的解析式可以得出,在反比例函数的图像上任取一点,向两个坐标轴作垂线,高中地理,这点、两个垂足及原点所围成的矩形面积是定值,为?k?。

  如图,上面给出了k分别为正和负(2和-2)时的函数图像。

  当K>0时,反比例函数图像经过一,三象限,是减函数

  当K<0时,反比例函数图像经过二,四象限,是增函数

  反比例函数图像只能无限趋向于坐标轴,无法和坐标轴相交。

  知识点:

  1.过反比例函数图象上任意一点作两坐标轴的垂线段,这两条垂线段与坐标轴围成的矩形的面积为k。

  2.对于双曲线y=k/x,若在分母上加减任意一个实数(即y=k/(x±m)m为常数),就相当于将双曲线图象向左或右平移一个单位。(加一个数时向左平移,减一个数时向右平移)

  高一数学知识点归纳4

  一、集合有关概念

  1.集合的含义

  2.集合的中元素的三个特性:

  (1)元素的确定性如:世界上的山

  (2)元素的互异性如:由HAPPY的字母组成的集合{H,A,P,Y}

  (3)元素的无序性:如:{a,b,c}和{a,c,b}是表示同一个集合

  3.集合的表示:{…}如:{我校的篮球队员},{太平洋,大西洋,印度洋,北冰洋}

  (1)用拉丁字母表示集合:A={我校的篮球队员},B={1,2,3,4,5}

  (2)集合的表示方法:列举法与描述法。

  注意:常用数集及其记法:XKb1.Com

  非负整数集(即自然数集)记作:N

  正整数集:N_或N+

  整数集:Z

  有理数集:Q

  实数集:R

  1)列举法:{a,b,c……}

  2)描述法:将集合中的元素的公共属性描述出来,写在大括号内表示集合{xR|x-3>2},{x|x-3>2}

  3)语言描述法:例:{不是直角三角形的三角形}

  4)Venn图:

  4、集合的分类:

  (1)有限集含有有限个元素的集合

  (2)无限集含有无限个元素的集合

  (3)空集不含任何元素的集合例:{x|x2=-5}

  二、集合间的基本关系

  1.“包含”关系—子集

  注意:有两种可能(1)A是B的一部分,;(2)A与B是同一集合。

  反之:集合A不包含于集合B,或集合B不包含集合A,记作AB或BA

  2.“相等”关系:A=B(5≥5,且5≤5,则5=5)

  实例:设A={x|x2-1=0}B={-1,1}“元素相同则两集合相等”

  即:①任何一个集合是它本身的子集。AA

  ②真子集:如果AB,且AB那就说集合A是集合B的真子集,记作AB(或BA)

  ③如果AB,BC,那么AC

  ④如果AB同时BA那么A=B

  3.不含任何元素的集合叫做空集,记为Φ

  规定:空集是任何集合的子集,空集是任何非空集合的真子集。

  4.子集个数:

  有n个元素的集合,含有2n个子集,2n-1个真子集,含有2n-1个非空子集,含有2n-1个非空真子集

  三、集合的运算

  运算类型交集并集补集

  定义由所有属于A且属于B的元素所组成的集合,叫做A,B的交集.记作AB(读作‘A交B’),即AB={x|xA,且xB}.

  由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合,叫做A,B的并集.记作:AB(读作‘A并B’),即AB={x|xA,或xB}).

  设S是一个集合,A是S的一个子集,由S中所有不属于A的元素组成的集合,叫做S中子集A的补集(或余集)

  记作,即

  CSA=

  AA=A

  AΦ=Φ

  AB=BA

  ABA

  ABB

  AA=A

  AΦ=A

  AB=BA

  ABA

  ABB

  (CuA)(CuB)

  =Cu(AB)

  (CuA)(CuB)

  =Cu(AB)

  A(CuA)=U

  A(CuA)=Φ.

  二、函数的有关概念

  1.函数的概念

  设A、B是非空的数集,如果按照某个确定的对应关系f,使对于集合A中的任意一个数x,在集合B中都有确定的数f(x)和它对应,那么就称f:A→B为从集合A到集合B的一个函数.记作:y=f(x),x∈A.其中,x叫做自变量,x的取值范围A叫做函数的定义域;与x的值相对应的y值叫做函数值,函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域.

  注意:

  1.定义域:能使函数式有意义的实数x的集合称为函数的定义域。

  求函数的定义域时列不等式组的主要依据是:

  (1)分式的分母不等于零;

  (2)偶次方根的被开方数不小于零;

  (3)对数式的真数必须大于零;

  (4)指数、对数式的底必须大于零且不等于1.

  (5)如果函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的.那么,它的定义域是使各部分都有意义的x的值组成的集合.

  (6)指数为零底不可以等于零,

  (7)实际问题中的函数的定义域还要保证实际问题有意义.

  相同函数的判断方法:①表达式相同(与表示自变量和函数值的字母无关);

  ②定义域一致(两点必须同时具备)

  2.值域:先考虑其定义域

  (1)观察法(2)配方法(3)代换法

  3.函数图象知识归纳

  (1)定义:

  在平面直角坐标系中,以函数y=f(x),(x∈A)中的x为横坐标,函数值y为纵坐标的点P(x,y)的集合C,叫做函数y=f(x),(x∈A)的图象.C上每一点的坐标(x,y)均满足函数关系y=f(x),反过来,以满足y=f(x)的每一组有序实数对x、y为坐标的点(x,y),均在C上.

  (2)画法

  1.描点法:2.图象变换法:常用变换方法有三种:1)平移变换2)伸缩变换3)对称变换

  4.区间的概念

  (1)区间的分类:开区间、闭区间、半开半闭区间(2)无穷区间(3)区间的数轴表示.

  5.映射

  一般地,设A、B是两个非空的集合,如果按某一个确定的对应法则f,使对于集合A中的任意一个元素x,在集合B中都有确定的元素y与之对应,那么就称对应f:AB为从集合A到集合B的一个映射。记作“f(对应关系):A(原象)B(象)”

  对于映射f:A→B来说,则应满足:

  (1)集合A中的每一个元素,在集合B中都有象,并且象是的;

  (2)集合A中不同的元素,在集合B中对应的象可以是同一个;

  (3)不要求集合B中的每一个元素在集合A中都有原象。

  6.分段函数

  (1)在定义域的不同部分上有不同的解析表达式的函数。

  (2)各部分的自变量的取值情况.

  (3)分段函数的定义域是各段定义域的交集,值域是各段值域的并集.

  补充:复合函数

  如果y=f(u)(u∈M),u=g(x)(x∈A),则y=f[g(x)]=F(x)(x∈A)称为f、g的复合函数。

  二.函数的性质

  1.函数的单调性(局部性质)

  (1)增函数

  设函数y=f(x)的定义域为I,如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量x1,x2,当x1

  如果对于区间D上的任意两个自变量的值x1,x2,当x1

  注意:函数的单调性是函数的局部性质;

  (2)图象的特点

  如果函数y=f(x)在某个区间是增函数或减函数,那么说函数y=f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性,在单调区间上增函数的图象从左到右是上升的,减函数的图象从左到右是下降的.

  (3).函数单调区间与单调性的判定方法

  (A)定义法:

  (1)任取x1,x2∈D,且x1

  (2)作差f(x1)-f(x2);或者做商

  (3)变形(通常是因式分解和配方);

  (4)定号(即判断差f(x1)-f(x2)的正负);

  (5)下结论(指出函数f(x)在给定的区间D上的单调性).

  (B)图象法(从图象上看升降)

  (C)复合函数的单调性

  复合函数f[g(x)]的单调性与构成它的函数u=g(x),y=f(u)的单调性密切相关,其规律:“同增异减”

  注意:函数的单调区间只能是其定义域的子区间,不能把单调性相同的区间和在一起写成其并集.

  8.函数的奇偶性(整体性质)

  (1)偶函数:一般地,对于函数f(x)的定义域内的任意一个x,都有f(-x)=f(x),那么f(x)就叫做偶函数.

  (2)奇函数:一般地,对于函数f(x)的定义域内的任意一个x,都有f(-x)=—f(x),那么f(x)就叫做奇函数.

  (3)具有奇偶性的函数的图象的特征:偶函数的图象关于y轴对称;奇函数的图象关于原点对称.

  9.利用定义判断函数奇偶性的步骤:

  ○1首先确定函数的定义域,并判断其是否关于原点对称;

  ○2确定f(-x)与f(x)的关系;

  ○3作出相应结论:若f(-x)=f(x)或f(-x)-f(x)=0,则f(x)是偶函数;若f(-x)=-f(x)或f(-x)+f(x)=0,则f(x)是奇函数.

  注意:函数定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件.首先看函数的定义域是否关于原点对称,若不对称则函数是非奇非偶函数.若对称,(1)再根据定义判定;(2)由f(-x)±f(x)=0或f(x)/f(-x)=±1来判定;(3)利用定理,或借助函数的图象判定.

  10、函数的解析表达式

  (1)函数的解析式是函数的一种表示方法,要求两个变量之间的函数关系时,一是要求出它们之间的对应法则,二是要求出函数的定义域.

  (2)求函数的解析式的主要方法有:1.凑配法2.待定系数法3.换元法4.消参法

  11.函数(小)值

  ○1利用二次函数的性质(配方法)求函数的(小)值

  ○2利用图象求函数的(小)值

  ○3利用函数单调性的判断函数的(小)值:

  如果函数y=f(x)在区间[a,b]上单调递增,在区间[b,c]上单调递减则函数y=f(x)在x=b处有值f(b);

  如果函数y=f(x)在区间[a,b]上单调递减,在区间[b,c]上单调递增则函数y=f(x)在x=b处有最小值f(b);

  第三章基本初等函数

  一、指数函数

  (一)指数与指数幂的运算

  1.根式的概念:一般地,如果,那么叫做的次方根,其中>1,且∈_.

  负数没有偶次方根;0的任何次方根都是0,记作。

  当是奇数时,,当是偶数时,

  2.分数指数幂

  正数的分数指数幂的意义,规定:

  ,

  0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义

  3.实数指数幂的运算性质

  (1)•;

  (2);

  (3).

  (二)指数函数及其性质

  1、指数函数的概念:一般地,函数叫做指数函数,其中x是自变量,函数的定义域为R.

  注意:指数函数的底数的取值范围,底数不能是负数、零和1.

  2、指数函数的图象和性质

  a>10

  定义域R定义域R

  值域y>0值域y>0

  在R上单调递增在R上单调递减

  非奇非偶函数非奇非偶函数

  函数图象都过定点(0,1)函数图象都过定点(0,1)

  注意:利用函数的单调性,结合图象还可以看出:

  (1)在[a,b]上,值域是或;

  (2)若,则;取遍所有正数当且仅当;

  (3)对于指数函数,总有;

  二、对数函数

  (一)对数

  1.对数的概念:

  一般地,如果,那么数叫做以为底的对数,记作:(—底数,—真数,—对数式)

  说明:○1注意底数的限制,且;

  ○2;

  ○3注意对数的书写格式.

  两个重要对数:

  ○1常用对数:以10为底的对数;

  ○2自然对数:以无理数为底的对数的对数.

  指数式与对数式的互化

  幂值真数

  =N=b

  底数

  指数对数

  (二)对数的运算性质

  如果,且,,,那么:

  ○1•+;

  ○2-;

  ○3.

  注意:换底公式:(,且;,且;).

  利用换底公式推导下面的结论:(1);(2).

  (3)、重要的公式①、负数与零没有对数;②、,③、对数恒等式

  (二)对数函数

  1、对数函数的概念:函数,且叫做对数函数,其中是自变量,函数的定义域是(0,+∞).

  注意:○1对数函数的定义与指数函数类似,都是形式定义,注意辨别。如:,都不是对数函数,而只能称其为对数型函数.

  ○2对数函数对底数的限制:,且.

  2、对数函数的性质:

  a>10

  定义域x>0定义域x>0

  值域为R值域为R

  在R上递增在R上递减

  函数图象都过定点(1,0)函数图象都过定点(1,0)

  (三)幂函数

  1、幂函数定义:一般地,形如的函数称为幂函数,其中为常数.

  2、幂函数性质归纳.

  (1)所有的幂函数在(0,+∞)都有定义并且图象都过点(1,1);

  (2)时,幂函数的图象通过原点,并且在区间上是增函数.特别地,当时,幂函数的图象下凸;当时,幂函数的图象上凸;

  (3)时,幂函数的图象在区间上是减函数.在第一象限内,当从右边趋向原点时,图象在轴右方无限地逼近轴正半轴,当趋于时,图象在轴上方无限地逼近轴正半轴.

  第四章函数的应用

  一、方程的根与函数的零点

  1、函数零点的概念:对于函数,把使成立的实数叫做函数的零点。

  2、函数零点的意义:函数的零点就是方程实数根,亦即函数的图象与轴交点的横坐标。

  即:方程有实数根函数的图象与轴有交点函数有零点.

  3、函数零点的求法:

  ○1(代数法)求方程的实数根;

  ○2(几何法)对于不能用求根公式的方程,可以将它与函数的图象联系起来,并利用函数的性质找出零点.

  4、二次函数的零点:

  二次函数.

  (1)△>0,方程有两不等实根,二次函数的图象与轴有两个交点,二次函数有两个零点.

  (2)△=0,方程有两相等实根,二次函数的图象与轴有一个交点,二次函数有一个二重零点或二阶零点.

  (3)△<0,方程无实根,二次函数的图象与轴无交点,二次函数无零点.

  高一数学知识点归纳5

  并集:以属于A或属于B的元素为元素的集合称为A与B的并(集),记作A∪B(或B∪A),读作“A并B”(或“B并A”),即A∪B={x|x∈A,或x∈B}交集:以属于A且属于B的元差集表示

  素为元素的集合称为A与B的交(集),记作A∩B(或B∩A),读作“A交B”(或“B交A”),即A∩B={x|x∈A,且x∈B}例如,全集U={1,2,3,4,5}A={1,3,5}B={1,2,5}。那么因为A和B中都有1,5,所以A∩B={1,5}。再来看看,他们两个中含有1,2,3,5这些个元素,不管多少,反正不是你有,就是我有。那么说A∪B={1,2,3,5}。图中的阴影部分就是A∩B。有趣的是;例如在1到105中不是3,5,7的整倍数的数有多少个。结果是3,5,7每项减集合

  1再相乘。48个。对称差集:设A,B为集合,A与B的对称差集A?B定义为:A?B=(A-B)∪(B-A)例如:A={a,b,c},B={b,d},则A?B={a,c,d}对称差运算的另一种定义是:A?B=(A∪B)-(A∩B)无限集:定义:集合里含有无限个元素的集合叫做无限集有限集:令N_是正整数的全体,且N_n={1,2,3,……,n},如果存在一个正整数n,使得集合A与N_n一一对应,那么A叫做有限集合。差:以属于A而不属于B的元素为元素的集合称为A与B的差(集)。记作:AB={x│x∈A,x不属于B}。注:空集包含于任何集合,但不能说“空集属于任何集合”.补集:是从差集中引出的概念,指属于全集U不属于集合A的元素组成的集合称为集合A的补集,记作CuA,即CuA={x|x∈U,且x不属于A}空集也被认为是有限集合。例如,全集U={1,2,3,4,5}而A={1,2,5}那么全集有而A中没有的3,4就是CuA,是A的补集。CuA={3,4}。在信息技术当中,常常把CuA写成~A。

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