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高一年级数学必修1知识点整理_高中数学必修一重点知识点归纳(2)

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  三、函数的基本性质

  1、函数解析式子的求法

  (1、函数的解析式是函数的一种表示方法,要求两个变量之间的函数关系时,一是要求出它们之间的对应法则,二是要求出函数的定义域.

  (2、求函数的解析式的主要方法有:

  1)代入法:

  2)待定系数法:

  3)换元法:

  4)拼凑法:

  2.定义域:能使函数式有意义的实数x的集合称为函数的定义域。

  求函数的定义域时列不等式组的主要依据是:

  (1)分式的分母不等于零;

  (2)偶次方根的被开方数不小于零;

  (3)对数式的真数必须大于零;

  (4)指数、对数式的底必须大于零且不等于1.

  (5)如果函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的.那么,它的定义域是使各部分都有意义的x的值组成的集合.

  (6)指数为零底不可以等于零,

  (7)实际问题中的函数的定义域还要保证实际问题有意义.

  3、相同函数的判断方法:①表达式相同(与表示自变量和函数值的字母无关);②定义域一致(两点必须同时具备)

  4、区间的概念:

  (1)区间的分类:开区间、闭区间、半开半闭区间

  (2)无穷区间

  (3)区间的数轴表示

  5、值域(先考虑其定义域)

  (1)观察法:直接观察函数的图像或函数的解析式来求函数的值域;

  (2)反表示法:针对分式的类型,把Y关于X的函数关系式化成X关于Y的函数关系式,由X的范围类似求Y的范围。

  (3)配方法:针对二次函数的类型,根据二次函数图像的性质来确定函数的值域,注意定义域的范围。

  (4)代换法(换元法):作变量代换,针对根式的题型,转化成二次函数的类型。

  6.分段函数

  (1)在定义域的不同部分上有不同的解析表达式的函数。

  (2)各部分的自变量的取值情况.

  (3)分段函数的定义域是各段定义域的交集,值域是各段值域的并集.

  (4)常用的分段函数有取整函数、符号函数、含绝对值的函数

  7.映射

  一般地,设A、B是两个非空的集合,如果按某一个确定的对应法则f,使对于集合A中的任意一个元素x,在集合B中都有确定的元素y与之对应,那么就称对应f:A---B为从集合A到集合B的一个映射。记作“f(对应关系):A(原象)---B(象)”

  对于映射f:A→B来说,则应满足:

  (1)集合A中的每一个元素,在集合B中都有象,并且象是的;

  (2)集合A中不同的元素,在集合B中对应的象可以是同一个;

  (3)不要求集合B中的每一个元素在集合A中都有原象。

  注意:映射是针对自然界中的所有事物而言的,而函数仅仅是针对数字来说的。所以函数是映射,而映射不一定的函数

  8、函数的单调性(局部性质)及最值

  (1、增减函数

  (1)设函数y=f(x)的定义域为I,如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量x1,x2,当x1

  (2)如果对于区间D上的任意两个自变量的值x1,x2,当x1

  注意:函数的单调性是函数的局部性质;函数的单调性还有单调不增,和单调不减两种

  (2、图象的特点

  如果函数y=f(x)在某个区间是增函数或减函数,那么说函数y=f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性,在单调区间上增函数的图象从左到右是上升的,减函数的图象从左到右是下降的.

  (3、函数单调区间与单调性的判定方法

  (A)定义法:

  任取x1,x2∈D,且x1

  作差f(x1)-f(x2);

  变形(通常是因式分解和配方);

  定号(即判断差f(x1)-f(x2)的正负);

  下结论(指出函数f(x)在给定的区间D上的单调性).

  (B)图象法(从图象上看升降)

  (C)复合函数的单调性

  复合函数:如果y=f(u)(u∈M),u=g(x)(x∈A),则y=f[g(x)]=F(x)(x∈A)称为f、g的复合函数。

  复合函数f[g(x)]的单调性与构成它的函数u=g(x),y=f(u)的单调性密切相关,其规律:“同增异减”

  注意:函数的单调区间只能是其定义域的子区间,不能把单调性相同的区间和在一起写成其并集.

  9:函数的奇偶性(整体性质)

  (1、偶函数

  一般地,对于函数f(x)的定义域内的任意一个x,都有f(-x)=f(x),那么f(x)就叫做偶函数.

  (2、奇函数

  一般地,对于函数f(x)的定义域内的任意一个x,都有f(-x)=—f(x),那么f(x)就叫做奇函数.

  (3、具有奇偶性的函数的图象的特征

  偶函数的图象关于y轴对称;奇函数的图象关于原点对称.

  利用定义判断函数奇偶性的步骤:

  a、首先确定函数的定义域,并判断其是否关于原点对称;若是不对称,则是非奇非偶的函数;若对称,则进行下面判断;

  b、确定f(-x)与f(x)的关系;

  c、作出相应结论:若f(-x)=f(x)或f(-x)-f(x)=0,则f(x)是偶函数;

  若f(-x)=-f(x)或f(-x)+f(x)=0,则f(x)是奇函数.

  (4)利用奇偶函数的四则运算以及复合函数的奇偶性

  a、在公共定义域内,偶函数的加减乘除仍为偶函数;

  奇函数的加减仍为奇函数;

  奇数个奇函数的乘除认为奇函数;

  偶数个奇函数的乘除为偶函数;

  一奇一偶的乘积是奇函数;

  a、复合函数的奇偶性:一个为偶就为偶,两个为奇才为奇。

  注意:函数定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件.首先看函数的定义域是否关于原点对称,若不对称则函数是非奇非偶函数.若对称,

  (1)再根据定义判定;

  (2)由f(-x)±f(x)=0或f(x)/f(-x)=±1来判定;

  (3)利用定理,或借助函数的图象判定.

  10、函数最值及性质的应用

  (1、函数的最值

  a利用二次函数的性质(配方法)求函数的(小)值

  b利用图象求函数的(小)值

  c利用函数单调性的判断函数的(小)值:

  如果函数y=f(x)在区间[a,b]上单调递增,在区间[b,c]上单调递减则函数y=f(x)在x=b处有值f(b);

  如果函数y=f(x)在区间[a,b]上单调递减,在区间[b,c]上单调递增则函数y=f(x)在x=b处有最小值f(b);

  (2、函数的奇偶性与单调性

  奇函数在关于原点对称的区间上有相同的单调性;

  偶函数在关于原点对称的区间上有相反的单调性。

  (3、判断含糊单调性时也可以用作商法,过程与作差法类似,区别在于作差法是与0作比较,作商法是与1作比较。

  (4)绝对值函数求最值,先分段,再通过各段的单调性,或图像求最值。

  (5)在判断函数的奇偶性时候,若已知是奇函数可以直接用f(0)=0,但是f(0)=0并不一定可以判断函数为奇函数。(高一阶段可以利用奇函数f(0)=0)。

  【篇二】

  方程的根与函数的零点

  1、函数零点的概念:对于函数,把使成立的实数叫做函数的零点。

  2、函数零点的意义:函数的零点就是方程实数根,亦即函数的图象与轴交点的横坐标。即:方程有实数根,函数的图象与坐标轴有交点,函数有零点.

  3、函数零点的求法:

  (1)(代数法)求方程的实数根;

  (2)(几何法)对于不能用求根公式的方程,可以将它与函数的图象联系起来,并利用函数的性质找出零点.

  4、二次函数的零点:

  (1)△>0,方程有两不等实根,二次函数的图象与轴有两个交点,二次函数有两个零点.

  (2)△=0,方程有两相等实根(二重根),二次函数的图象与轴有一个交点,二次函数有一个二重零点或二阶零点.

  (3)△<0,方程无实根,二次函数的图象与轴无交点,二次函数无零点.
 


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